数 制 转 换

    数制转换是指将一个数从一种进位制转换成另一种进位制。从实际应用出发，要求掌握二进制数与十进制数、八进制数、以及十六进制数之间的相互转换。

    一、二进制数与十进制数之间的转换 
    1.二进制数转换为十进制数
    方法：多项式替代法
    二进制数转换成十进制数时，只需将二进制数表示成按权展开式，并按十进制运算法则进行计算，所得结果即为该数对应的十进制数。 
    例如，
      (10110.101)2=1×24+1×22+1×21+1×2-1+1×2-3
                  =16+4+2+0.5+0.125
                  =(22.625)10

    2.十进制数转换为二进制数
   方法：基数乘除法
    十进制数转换成二进制数时，应对整数和小数分别进行处理。整数转换采用“除2取余”的方法，小数转换采用“乘2取整”的方法。

    (1) 整数转换

    将十进制整数N除以2，取余数计为K0；再将所得商除以2，取余数记为K1；…… 。依此类推，直至商为0，取余数计为Kn-1为止。即可得到与十进制整数N对应的n位二进制整数Kn-1…K1K0。

    例如，将十进制整数35转换成二进制整数。


    即：(35)10=(100011)2

    (2) 小数转换

    将十进制小数N乘以2，取积的整数部分记为K-1；再将积的小数部分乘以2，取整数部分记为K-2 ；…… 。依此类推，直至其小数部分为0或达到规定精度要求，取整数部分记作K-m为止。即可得到与N对应的m位二进制小数0.K-1K-2…K-m。
    例如，将十进制小数0.6875转换成二进制小数。


    即：(0.6875)10=(0.1011)2
    注意：当十进制小数不能用有限位二进制小数精确表时。可根据精度要求，求出相应的二进制位数近似地表示。一般当要求二进制数取m位小数时，可求出m+1位，然后对最低位作“ 0舍1入”处理。 例如，将十进制小数0.323转换成二进制小数(保留4位小数)。


    即：(0.323)10 = (0.0101)2   


    若一个十进制数既包含整数部分，又包含小数部分，则需将整数部分和小数部分分别转换，然后用小数点将两部分结果连到一起。 例如，将十进制数25.625转换成二进制数。



    即：(25.625)10=(11001.101)2  


    二、二进制数与八进制数、十六进制数之间的转换

    1.二进制数与八进制数之间的转换
    由于八进制中的基本数字符号0～7正好和3位二进制数的8种取值000～111对应。所以，二进制数与八进制数之间的转换可以按位进行。 
    二进制数转换成八进制数：以小数点为界，分别往高、往低每3位为一组，最后不足3位时用0补充，然后写出每组对应的八进制字符，即为相应八进制数。
    例如，将二进制数11100101.01转换成八进制数。

011  100  101 . 010
3 4 5 . 2

    即：(11100101.01)2=(345.2)8 


     八进制数转换成二进制数：只需将每位八进制数用3位二进制数表示。
    例如，将八进制数56.7转换成二进制数。

5 6 . 7
101  110  . 111

    即：(56.7)8 = (101110.111)2 


    2.二进制数与十六进制数之间的转换
    二进制数与十六进制数之间的转换同样可以按位进行 ，只不过是4位二进制数对应1位十六进制数，即4位二进制数的取值0000～1111分别对应十六进制字符0～F。
    二进制数转换成十六进制数：以小数点为界，分别往高、往低每4位为一组，最后不足4位时用0补充，然后写出每组对应的十六进制字符即可。
    例如，将二进制数101110.011转换成十六进制数。

0010  1110  . 0110
2 E . 6

    即：(101110.011)2 = (2E.6)16 


    十六进制数转换成二进制数：只需将每位十六进制数用4位二进制数表示。
    例如，将十六进制数5A.B转换成二进制数。

5 A . B
0101  1010  . 1011

    即：(5A.B)16 = (1011010.1011)2
    由于八进制数、十六进制数与二进制数的转换很方便，因此，常用来作二进制数的缩写。


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